날씨가 맑고, 흐리고, 눈 오고, 비 오고 등으로 조사되고, 직업이 전문직, 사무직, 노무직 등으로 분류되는 등 숫자가 아닌 범주형 형태로 얻어지는 자료를 분석하는 기본적인 도구로 카이제곱통계를 이용한다. 표본으로 얻어진 범주의 분포들이 주어진 분포에 부합하는지 알아보려는 적합도 검정, 범주형 변수들끼리의 독립성 여부를 알아보려는 독립성 검정, 두 개 이상의 집단에서의 분포가 같은지 알아보려는 동질성 검정을 할 수 있다.
특정 분포를 따르는지 알아보는 방법을 적합도 검정(Goodness of fit test)이라고 한다.
정규분포 적합도 검정으로는 콜모그로프-스미르노프 검정, 샤피로 윌크 검정, 앤더슨 달링 검정이 주로 사용된다. 세 가지 방법은 결과가 거의 비슷하게 나온다.
library(MASS)
price = Cars93$Price
# alpha = 0.05 > p ==> H0 reject
ks.test(price, "pnorm") # 귀무가설은 '변수 X가 정규분포를 따른다'이고, 대립가설은 '정규분포를 따르지 않는다'이다.Warning in ks.test.default(price, "pnorm"): ties should not be present for the
Kolmogorov-Smirnov test
Asymptotic one-sample Kolmogorov-Smirnov test
data: price
D = 1, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: two-sided# 검정 결과, p < 2.2e-16 = 0.00000000000000022 이므로 귀무가설을 기각한다.# alpha = 0.05 > p ==> H0 reject
shapiro.test(price) # 귀무가설은 '변수 X가 정규분포를 따른다'이고, 대립가설은 '정규분포를 따르지 않는다'이다.
Shapiro-Wilk normality test
data: price
W = 0.88051, p-value = 4.235e-07# 검정 결과, p = 4.235e-07 = 0.0000004235 이므로 귀무가설을 기각한다.# install.packages('nortest') # nortest 라이브러리가 없으면 설치하기
library(nortest)
ad.test(price)
Anderson-Darling normality test
data: price
A = 2.6704, p-value = 8.797e-07# alpha = 0.05 > p ==> H0 reject
# 검정 결과, p = 8.797e-07 = 0.0000008797 이므로 귀무가설을 기각한다.ks.test(price, 'pnorm') # 정규분포를 따르는지 검정하기Warning in ks.test.default(price, "pnorm"): ties should not be present for the
Kolmogorov-Smirnov test
Asymptotic one-sample Kolmogorov-Smirnov test
data: price
D = 1, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: two-sidedks.test(price, 'pt', df=30) # 자유도가 30인 t분포를 따르는지 검정하기Warning in ks.test.default(price, "pt", df = 30): ties should not be present
for the Kolmogorov-Smirnov test
Asymptotic one-sample Kolmogorov-Smirnov test
data: price
D = 1, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: two-sidedks.test(price, 'pf', df1=30, df2=40) # 자유도가 30, 40인 F분포를 따르는지 검정하기Warning in ks.test.default(price, "pf", df1 = 30, df2 = 40): ties should not be
present for the Kolmogorov-Smirnov test
Asymptotic one-sample Kolmogorov-Smirnov test
data: price
D = 1, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: two-sidedks.test(price, 'pchisq', df=30) # 자유도가 30인 카이제곱분포를 따르는지 검정하기Warning in ks.test.default(price, "pchisq", df = 30): ties should not be
present for the Kolmogorov-Smirnov test
Asymptotic one-sample Kolmogorov-Smirnov test
data: price
D = 0.60067, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: two-sided중심극한정리란 변수 \(X\)가 정규분포를 따르지는 않지만, 만약 모집단으로부터 충분한 크기의 표본을 뽑았다면(25~30개 이상) 통계량의 분포인 표본분포가 정규분포에 근사한다는 이론이다. 따라서 표본을 충분히 크게 뽑는다면 모집단이 정규분포를 따르지 않아도 중심극한정리에 의해 표본분포가 정규분포를 따른다.
코로나 접종을 받은 사람의 비율이 20대, 30대, 40대 연령에서 동일한지 \(\dfrac{1}{3}\), \(\dfrac{1}{3}\), \(\dfrac{1}{3}\)로 검정하거나, 중간시험에서 A, B, C학점을 받은 비율이 동일한지 \(\dfrac{1}{3}\), \(\dfrac{1}{3}\), \(\dfrac{1}{3}\)로 검정, 또는 \(20\%\), \(50\%\), \(30\%\)인지 검정하는 것을 단일 분류변수에 대한 검정이라고 한다. 범주형 변수의 분포에 대한 적합성 검정은 카이제곱 분포를 이용할 수 있다.
## goodness-of-fit test for one sample
# area1 area2 area3
# H0: p1 = p2 = p3 ==> HO: p1=p2=p3=1/3
# o1 = 19, o2=14, o3 = 13, n=46
o1=19 ; o2=14 ; o3=13
n = o1 + o2 + o3
x=c(o1, o2, o3)
chisq.test(x, p=c(1/3, 1/3, 1/3) ) #검정결과 귀무가설 채택, 세 지역의 접종률은 동일함
Chi-squared test for given probabilities
data: x
X-squared = 1.3478, df = 2, p-value = 0.5097chisq.test(x, p=c(1/4, 2/4, 1/4 )) #귀무가설을 1/4, 2/4, 1/4로 바꿀 수도 있음. 검정결과 귀무가설 기각됨
Chi-squared test for given probabilities
data: x
X-squared = 8.6087, df = 2, p-value = 0.01351
알려진 시장점유율과 관측값이 차이가 나는지 검정하시오.# chisq.test(x=범주별 관측도수, p=범주별 비율, rescale.p, correct)
# rescale.p: p의 합이 1이 아닐때, 1이 되도록 스케일을 조정할지 결정, F가 기본값
# correct: 연속성 수정 여부, T가 기본값
x <- c(110, 195, 47, 148)
p <- c(0.2, 0.4, 0.1, 0.3)
chisq.test(x, p=p)
Chi-squared test for given probabilities
data: x
X-squared = 1.3317, df = 3, p-value = 0.7216# 검정 통계량이 1.3317이고, p값이 0.7216이다.
# p값이 0.05(5%) 이상이므로 귀무가설을 기각할 수 없고,
# 관측된 데이터는 기대되는 빈도와 통계적으로 유의미한 차이가 없다.p <- rep(1/6, 6)
x <- c(210, 180, 185, 220, 195, 210)
chisq.test(x, p=p)
Chi-squared test for given probabilities
data: x
X-squared = 6.25, df = 5, p-value = 0.2826# 검정 통계량이 6.25이고, p값이 0.2826이다.
# p값이 0.05(5%) 이상이므로 귀무가설을 기각할 수 없고,
# 주사위의 각 면이 나올 확률이 다르지 않으며, 각 면이 200번으로 나오지 않은 것은 확률적인 우연 변동이다.
observed <- c(94, 67, 33, 3, 3) # 관측된 빈도
total <- sum(observed) # 총 건수
lambda <- sum(0:4 * observed) / total # 포아송 분포의 평균 발생빈도 계산(하루 평균)
expected <- dpois(0:4, lambda) * total # 기대 빈도 계산
expected[5] <- total - sum(expected[1:4]) # 마지막 카테고리는 4 이상의 모든 값 포함
chisq_test <- chisq.test(x = observed, p = expected / total) # 카이제곱 적합도 검정 수행Warning in chisq.test(x = observed, p = expected/total): Chi-squared
approximation may be incorrectprint(chisq_test) # 검정 결과 출력
Chi-squared test for given probabilities
data: observed
X-squared = 4.9623, df = 4, p-value = 0.2912# 각 범주의 기대빈도가 5보다 작은 경우에는 잘 맞지 않기에 경고메시지가 뜬다.기대빈도가 낮은 주위의 범주들을 하나의 범주로 묶어서 붕괴된(collapsed) 빈도표를 만들어 카이제곱 적합도 검정을 수행한다. 
x <- 0:4
Obs <- c(94, 67, 33, 3, 3)
(n <- sum(Obs))[1] 200(sample.mean <- drop(x%*%Obs/sum(Obs))) # %*% := inner product, drop := as scalar[1] 0.77prob <- dpois(x, lambda=sample.mean)
prob <- c(prob, 1-sum(prob))
Exp <- n*prob
x <- c(x, 5)
Obs <- c(Obs, 0)
cbind(x, Obs, prob, Exp) x Obs prob Exp
[1,] 0 94 0.463013068 92.6026137
[2,] 1 67 0.356520063 71.3040125
[3,] 2 33 0.137260224 27.4520448
[4,] 3 3 0.035230124 7.0460248
[5,] 4 3 0.006781799 1.3563598
[6,] 5 0 0.001194722 0.2389444(Exp >= 5) # 기대빈도가 5 이상인지 확인[1] TRUE TRUE TRUE TRUE FALSE FALSEObs[4] <- sum(Obs[4:6])
prob[4] <- sum(prob[4:6])
Exp[4] <- sum(Exp[4:6])
x <- x[1:4]
Obs <- Obs[1:4]
prob <- prob[1:4]
Exp <- Exp[1:4]
chisq <- (Obs-Exp)^2/Exp
cbind(x, Obs, prob, Exp, chisq) x Obs prob Exp chisq
[1,] 0 94 0.46301307 92.602614 0.02108675
[2,] 1 67 0.35652006 71.304013 0.25979637
[3,] 2 33 0.13726022 27.452045 1.12122091
[4,] 3 6 0.04320664 8.641329 0.80735485sum.chisq <- sum(chisq)
(p.value <-1 -pchisq(sum.chisq, df=4-1-1))[1] 0.3313005# 하루에 발생하는 AS요청건수의 분포가 포아송분포를 따른다는 귀무가설을 기각할 수 없다.
## vcd package --> does not collapes!!!
Obs <- c(94, 67, 33, 3, 3)
x.poi <- c(rep(0,94), rep(1,67), rep(2, 33), rep(3, 3), rep(4, 3))
library(vcd)Loading required package: gridgf <- goodfit(x.poi, type= "poisson", method="MinChisq")
summary(gf)Warning in summary.goodfit(gf): Chi-squared approximation may be incorrect
Goodness-of-fit test for poisson distribution
X^2 df P(> X^2)
Pearson 4.760495 3 0.1901988plot(gf, main="Count data vs Poisson distribution")
51.92, 52.10, 52.25, 52.41, 52.48, 52.64, 53.02, 53.39, 53.40, 53.77, 54.00, 54.04, 54.30, 54.42, 54.77, 54.78, 54.85, 55.31, 55.33, 55.38, 55.49, 55.51, 55.68, 55.69, 55.80, 55.85, 56.03, 56.05, 56.10, 56.18, 56.22, 56.26, 56.29, 56.32, 56.35, 56.45, 56.57, 56.64, 56.71, 56.84, 56.91, 57.03, 57.14, 57.18, 58.00, 58.07, 58.32, 58.66, 59.26, 59.37
이 자료로부터 야구팬들의 머리둘레길이가 정규분포를 따른다고 가정하는 것이 적절한지 적합도 검정을 하시오.
x <- c(51.92, 52.10, 52.25, 52.41, 52.48, 52.64, 53.02, 53.39, 53.40, 53.77, 54.00, 54.04, 54.30, 54.42, 54.77, 54.78, 54.85, 55.31, 55.33, 55.38, 55.49, 55.51, 55.68, 55.69, 55.80, 55.85, 56.03, 56.05, 56.10, 56.18, 56.22, 56.26, 56.29, 56.32, 56.35, 56.45, 56.57, 56.64, 56.71, 56.84, 56.91, 57.03, 57.14, 57.18, 58.00, 58.07, 58.32, 58.66, 59.26, 59.37)
(x.mean <- mean(x))[1] 55.5506(x.sd <- sd(x))[1] 1.859135prob <- rep(0.1, 10)
p <- cumsum(prob)
(z <- qnorm(p, x.mean, x.sd)) [1] 53.16802 53.98591 54.57567 55.07959 55.55060 56.02161 56.52553 57.11529
[9] 57.93318 Infz [1] 53.16802 53.98591 54.57567 55.07959 55.55060 56.02161 56.52553 57.11529
[9] 57.93318 Infcount <- as.vector(10)
for (i in 1:10){
count[i] <- length(x[x<z[i]])
}
count [1] 7 10 14 17 22 26 36 42 44 50for (i in 10:2){
count[i] <- count[i] - count[i-1]
}
count [1] 7 3 4 3 5 4 10 6 2 6exp <- rep(5, 10)
chisq_i <- (count - exp)^2 / exp
cbind(count, prob, exp, chisq_i) count prob exp chisq_i
[1,] 7 0.1 5 0.8
[2,] 3 0.1 5 0.8
[3,] 4 0.1 5 0.2
[4,] 3 0.1 5 0.8
[5,] 5 0.1 5 0.0
[6,] 4 0.1 5 0.2
[7,] 10 0.1 5 5.0
[8,] 6 0.1 5 0.2
[9,] 2 0.1 5 1.8
[10,] 6 0.1 5 0.2(chisq <- sum(chisq_i))[1] 101-pchisq(chisq, 7) # p-value[1] 0.1885735# 야구팬들의 머리둘레길이가 정규분포를 따른다는 귀무가설을 기각할 수 없다.두 모집단에 대해서 단일변수의 분포가 동일한지 알아보는 것을 동질성 검정(homogeneity test)이라고 한다. 표본을 뽑을 때 모집단이 2개이기 때문에 서로 다른 모집단에서 각각 동일한 분류변수를 관측하는 것이 (적합도 검정과) 차이가 있다. 성인 남녀에서 공공기관 합격여부가 성공 또는 실패 비율이 남녀별 동일한지, 중간시험에서 남녀에 따라 학점의 분포가 동일한지, 도시농촌간 독감예방현황의 분포가 동일한지 등을 알아볼때 사용된다. 다음에 나오는 독립성 검정에서는 한 변수는 모집단을 나타내고, 다른 변수는 단일 분류변수를 나타낸다. 두 모집단이나 세 모집단 또는 여러 모집단에서 범주형 변수의 분포에 대한 동질성 검정도 chisq.test() 함수에 의해 검정할 수 있다.
area = c("area1", "area1", "area2", "area2", "area3", "area3") #각각에 대하여 접종 여부
flu_shot = c("1.Yes", "2.No", "1.Yes", "2.No", "1.Yes", "2.No") #독감예방접종 여부
count = c(19, 21, 14, 21, 13, 22)
data = data.frame(area, flu_shot, count)
tab = xtabs(count ~ area + flu_shot, data= data)
tab #교차표 만들기 flu_shot
area 1.Yes 2.No
area1 19 21
area2 14 21
area3 13 22chisq.test(tab) #교차표 사용하기, 검정결과 귀무가설 채택, 지역에 따른 예방접종률의 분포는 동일함
Pearson's Chi-squared test
data: tab
X-squared = 0.89274, df = 2, p-value = 0.6399library(MASS)
prop.table(table(Cars93$AirBags)) # HO: 1/3 1/3 1/3
Driver & Passenger Driver only None
0.1720430 0.4623656 0.3655914 chisq.test(x=table(Cars93$AirBags), p=c(1/3, 1/3, 1/3)) #검정결과 귀무가설 기각, 비율이 다름
Chi-squared test for given probabilities
data: table(Cars93$AirBags)
X-squared = 12.194, df = 2, p-value = 0.00225chisq.test(x=table(Cars93$AirBags), p=c(0.15, 0.70, 0.15)) #귀무가설의 비율을 바꿔서 검정결과 귀무가설 기각, 즉 비율이 하나 이상 차이가 있음
Chi-squared test for given probabilities
data: table(Cars93$AirBags)
X-squared = 36.621, df = 2, p-value = 1.116e-08homo <- matrix(c(30, 15, 50, 75), nrow=2, ncol=2, byrow=T)
dimnames(homo) <- list(c("남자","여자"), c("독문학","불문학"))
n.marginal <- rowSums(homo)
p.obs <- homo / n.marginal
p.exp <- colSums(homo)/350
homo.exp <- n.marginal%o%p.exp
homo.exp 독문학 불문학
남자 10.28571 11.57143
여자 28.57143 32.14286homo.chisq <- (homo - homo.exp)^2 / homo.exp
homo.chisq 독문학 불문학
남자 37.78571 1.015873
여자 16.07143 57.142857rowSums(homo.chisq) 남자 여자
38.80159 73.21429 (xx <- chisq.test(homo))
Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction
data: homo
X-squared = 8.4044, df = 1, p-value = 0.003743xx$expected 독문학 불문학
남자 21.17647 23.82353
여자 58.82353 66.17647xx$residuals^2 # 독립이라는 가정 하에 기댓값 독문학 불문학
남자 3.676471 3.267974
여자 1.323529 1.176471sum(xx$residuals^2) # 독립이라는 가정 하에 카이제곱값[1] 9.444444# p값이 유의 수준(0.05)보다 낮으므로, 두 집단의 분포가 같다는 가정을 기각한다.# 남학생과 여학생의 독문학과 불문학 전공자 수
male_students <- c(30, 15) # 남학생 독문학 30명, 불문학 15명
female_students <- c(50, 75) # 여학생 독문학 50명, 불문학 75명
# prop.test를 사용하여 두 집단 간의 비율 차이 검정
prop.test(x = c(sum(male_students), sum(female_students)),
n = c(sum(male_students) + sum(female_students), sum(female_students) + sum(male_students)),
alternative = "two.sided")
2-sample test for equality of proportions with continuity correction
data: c(sum(male_students), sum(female_students)) out of c(sum(male_students) + sum(female_students), sum(female_students) + sum(male_students))
X-squared = 73.424, df = 1, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: two.sided
95 percent confidence interval:
-0.5702594 -0.3709171
sample estimates:
prop 1 prop 2
0.2647059 0.7352941 # p값이 유의 수준(0.05)보다 낮으므로, 두 집단의 분포가 같다는 가정을 기각한다.분류변수에 대한 검정 중 가장 빈번하게 사용되며, 한 모집단에서 두 개의 분류변수가 서로 독립적으로 움직이는지 확인하기 위해 사용하는 분석법이다. 즉 혈액형과 성별, 학년과 학점 등 두 개의 범주형 변수에 대해서 먼저 두 변수 간의 관련성이 주된 관심이 되며, 두 변수가 독립인지 검정하게 되는데, 이를 독립성 검정이라고 한다.
2개의 분류변수 혹은 번주변수가 주어진 경우, 관련성을 알아보기 위해 표로 요약하여 두 범주형 변수가 서로 독립인지 아닌지 파악하게 된다. 각 범주변수의 범주값을 가로와 세로에 나열해 교차되는 곳의 관측 도수를 세어서 요약한 표를 교차표, 분할표, 이원분류표라 한다. 이렇게 표로 먼저 요약한 후에 카이제곱 검정을 실시한다.
table(), xtabs() 함수를 이용한다.
동질성 검정은 한 모집단에서 두 분류변수 관계를 관측하는 것이고, 독립성 검정은 여러 모집단에서 한 분류변수를 측정하는 것이다. 교차표로 요악하는 방식은 동일하지만, 동질성 검정에서는 반드시 한 분류변수가 모집단을 나타낸다.
귀무가설(\(H_0\)): \(p_{ij} = p_{i}\ p_{j}\)
library(MASS)
survey$Sex [1] Female Male Male Male Male Female Male Female Male Male
[11] Female Male Female Female Male Female Female Male Male Male
[21] Male Male Male Male Female Male Male Male Male Male
[31] Female Male Female Male Male Male Female Male Male Male
[41] Female Female Male Female Female Male Male Male Female Female
[51] Male Male Male Male Male Male Female Male Male Male
[61] Male Female Female Female Female Male Female Female Male Male
[71] Female Male Female Female Female Female Female Female Female Male
[81] Male Male Female Female Male Female Female Female Male Female
[91] Male Female Female Female Male Female Male Female Male Female
[101] Male Male Female Female Female Female Female Female Male Male
[111] Female Male Female Male Female Female Female Male Female Male
[121] Male Male Female Male Male Male Female Male Female Female
[131] Male Male Female Female Male Male <NA> Male Male Female
[141] Female Female Female Male Female Male Male Male Female Female
[151] Male Female Female Male Male Male Male Female Male Male
[161] Female Male Male Female Male Female Female Female Male Male
[171] Female Male Female Female Female Female Male Female Female Female
[181] Male Female Female Male Male Male Female Male Male Male
[191] Male Male Male Female Female Female Female Male Female Female
[201] Female Male Female Female Male Female Female Male Male Female
[211] Female Female Male Male Female Male Female Male Female Male
[221] Male Female Female Female Female Female Female Male Female Male
[231] Female Male Female Female Female Male Female
Levels: Female Malesurvey$Smoke [1] Never Regul Occas Never Never Never Never Never Never Never Never Never
[13] Never Never Never Never Never Never Never Never Never Never Never Never
[25] Never Never Never Never Never Never Occas Never Heavy Never Regul Occas
[37] Never Never Never Occas Never Never Never Never Never Never Regul Never
[49] Occas Never Never Never Never Never Regul Never Never Never Never Occas
[61] Never Never Never Never Never Never Never Never Never <NA> Never Heavy
[73] Never Never Never Heavy Never Heavy Never Never Never Never Never Never
[85] Never Never Never Never Never Never Never Never Never Never Heavy Never
[97] Regul Never Never Never Never Never Never Never Heavy Never Occas Never
[109] Never Regul Never Never Never Never Never Never Never Heavy Never Heavy
[121] Occas Occas Never Never Never Never Never Regul Never Never Never Never
[133] Never Occas Never Regul Never Never Never Never Never Never Never Never
[145] Never Never Regul Never Never Never Never Never Regul Never Never Never
[157] Heavy Never Never Regul Never Never Never Occas Never Never Never Regul
[169] Never Never Never Occas Regul Never Never Never Regul Never Regul Never
[181] Occas Occas Never Never Never Never Never Never Never Never Never Never
[193] Occas Never Never Never Never Never Occas Never Occas Never Never Never
[205] Regul Occas Never Never Never Never Never Never Never Never Never Never
[217] Never Never Never Never Heavy Never Never Never Never Never Heavy Never
[229] Regul Occas Never Never Never Never Never Never Never
Levels: Heavy Never Occas Regul## 1) cross table(교차표)
####(1) table()
tle_data = table(survey$Sex, survey$Smoke)
tle_data
Heavy Never Occas Regul
Female 5 99 9 5
Male 6 89 10 12marginSums(tle_data, margin = 1) # row sum
Female Male
118 117 marginSums(tle_data, margin = 2) # column sum
Heavy Never Occas Regul
11 188 19 17 addmargins(tle_data) # 표에 행과 열의 합계 추가
Heavy Never Occas Regul Sum
Female 5 99 9 5 118
Male 6 89 10 12 117
Sum 11 188 19 17 235####(2) xtabs()
tbl_data = xtabs(~Sex+Smoke, data=survey)
tbl_data Smoke
Sex Heavy Never Occas Regul
Female 5 99 9 5
Male 6 89 10 12addmargins(tbl_data) Smoke
Sex Heavy Never Occas Regul Sum
Female 5 99 9 5 118
Male 6 89 10 12 117
Sum 11 188 19 17 235## 2) independence test, alpha=0.05
####(1) raw data
chisq.test(survey$Sex, survey$Smoke) # 원데이터를 그대로 이용하기
Pearson's Chi-squared test
data: survey$Sex and survey$Smoke
X-squared = 3.5536, df = 3, p-value = 0.3139####(2) crosstable
chisq.test(tbl_data) # 교차표를 만들어서 검정하기, 귀무가설 채택(성별과 흡연여부는 독립임)
Pearson's Chi-squared test
data: tbl_data
X-squared = 3.5536, df = 3, p-value = 0.3139####(3) CrossTable() of gmodels package
#install.packages('gmodels') # gmodels 패키지가 없으면 주석 지우고 실행하기
library(gmodels)Warning: package 'gmodels' was built under R version 4.3.3CrossTable(survey$Sex, survey$Smoke, chisq = T) # 교차표와 카이제곱검정을 한꺼번에 실행함
Cell Contents
|-------------------------|
| N |
| Chi-square contribution |
| N / Row Total |
| N / Col Total |
| N / Table Total |
|-------------------------|
Total Observations in Table: 235
| survey$Smoke
survey$Sex | Heavy | Never | Occas | Regul | Row Total |
-------------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------|
Female | 5 | 99 | 9 | 5 | 118 |
| 0.050 | 0.224 | 0.031 | 1.465 | |
| 0.042 | 0.839 | 0.076 | 0.042 | 0.502 |
| 0.455 | 0.527 | 0.474 | 0.294 | |
| 0.021 | 0.421 | 0.038 | 0.021 | |
-------------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------|
Male | 6 | 89 | 10 | 12 | 117 |
| 0.050 | 0.226 | 0.031 | 1.477 | |
| 0.051 | 0.761 | 0.085 | 0.103 | 0.498 |
| 0.545 | 0.473 | 0.526 | 0.706 | |
| 0.026 | 0.379 | 0.043 | 0.051 | |
-------------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------|
Column Total | 11 | 188 | 19 | 17 | 235 |
| 0.047 | 0.800 | 0.081 | 0.072 | |
-------------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------|
Statistics for All Table Factors
Pearson's Chi-squared test
------------------------------------------------------------
Chi^2 = 3.553618 d.f. = 3 p = 0.3138744
## less 5 frequency over 20% in crosstable(5이하의 도수가 20% 이상시 독립성 검정)
## fisher's exact test
sex = c("female", "female", "male", "male")
cancer = c("1.Yes", "2.No", "1.Yes", "2.No")
count = c(2,23,4,21)
data = data.frame(sex,cancer, count)
tab = xtabs(count~sex+cancer, data=data)
tab cancer
sex 1.Yes 2.No
female 2 23
male 4 21chisq.test(tab) # 분석결과는 나오지만 오류메시지가 뜸Warning in chisq.test(tab): Chi-squared approximation may be incorrect
Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction
data: tab
X-squared = 0.18939, df = 1, p-value = 0.6634## fisher's exact test
fisher.test(tab) # 검정결과, 성별과 대장암 발병여부는 독립임.
Fisher's Exact Test for Count Data
data: tab
p-value = 0.6671
alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 1
95 percent confidence interval:
0.03819639 3.62439874
sample estimates:
odds ratio
0.4635832 
y <- matrix(c(30, 13, 16,
8, 16, 7,
12, 11, 17), nrow=3, ncol=3, byrow=T)
dimnames(y) <- list(c("3.5-4.5","2.5-3.5","1.5-2.5"), c("사회과학","자연과학","공학"))
y 사회과학 자연과학 공학
3.5-4.5 30 13 16
2.5-3.5 8 16 7
1.5-2.5 12 11 17chisq.test(y, correct=F)
Pearson's Chi-squared test
data: y
X-squared = 13.088, df = 4, p-value = 0.01085# 학부성적과 대학원전공이 독립이라는 가정을 기각한다.
x <- chisq.test(y, correct=F) # 독립된 가정에서의 기댓값 출력
x$expected 사회과학 자연과학 공학
3.5-4.5 22.69231 18.153846 18.153846
2.5-3.5 11.92308 9.538462 9.538462
1.5-2.5 15.38462 12.307692 12.307692x$residuals^2 # 독립된 가정에서의 카이제곱값 사회과학 자연과학 공학
3.5-4.5 2.3533246 1.4631682 0.2555411
2.5-3.5 1.2908189 4.3771712 0.6755583
1.5-2.5 0.7446154 0.1389423 1.7889423